A logaritmus a görög logosz (viszony) és aritmosz (szám) egyesítéséből jött létre. Valamely számnak egy bizonyos alapra vonatkozó logaritmusa az a kitevő, amelyre az alapot emelnünk kell, hogy az adott számot kapjuk hatványul.
Tartalomjegyzék:
Képlettel
Azonosságai
Függvény
Természetes alapú ~
Számológépen
Egyenletek
5 kérdés – 5 válasz
Logaritmus:
A görög „viszony + szám” szóból ered. A logosz = viszony, aritmosz = szám szavak egyesítéséből jött létre a logaritmus elnevezés.
A XVI. században, a gazdasági fejlődések következtében számos matematikus azt kereste, hogyan lehetne a számolást megkönnyíteni. Sok feladatot kellett megoldaniuk a középkor csillagászainak, mire rájöttek, hogy hatványokkal számolva ez a munka leegyszerűsíthető. Később arra is rájöttek, hogy a hatványok helyett elég, ha csak a kitevőket írják le és azokkal számolnak. Az egyes alapokhoz tartozó kitevőket ellátták nevekkel és táblázatba foglalták. Az első ilyen táblázatot kamatoskamat számítására alkotta az angol Stevin, majd később a svájci Bürgi matematikus és órásmester is. Bürgitől függetlenül a skót matematikus, Napier is elkészítette táblázatát, melynek használata nehézkes volt, így Napier és barátja, Briggs közösen megtervezték a 10-es alapú ~ táblázatot. Napier halála után, 1617-ben Briggs kidolgozta és meg is jelentette táblázatát.
Valamely számnak egy bizonyos alapra vonatkozó logaritmusa az a kitevő, amelyre az alapot emelnünk kell, hogy az adott számot kapjuk hatványul.
Alapként egy tetszőleges, egytől különböző pozitív szám választható.
A gyakorlatban a 2-es és a 10-es alapú, valamint a természetes alapú (Napier-féle) logaritmus-rendszereket használjuk.
A 10-es alapú logaritmus jele: lg, a természetes alapú logaritmusé: ln.
Vagyis a b pozitív szám a alapú (a nagyobb mint 0, és a nem egyenlő eggyel) ~ának nevezzük azt a kitevőt, amelyet a-ra emelve b-t kapunk.
ax = b
log a b = x
log a a = 1
log a 1 = 0
a = alap; x = logaritmus
Használata megkönnyíti a numerikus számítást, mert tetszőlegesen adott rendszerben:
– a szorzat ~a a tényezők l~ának összege;
– tört ~a a számláló és a nevező ~ainak különbsége;
– hatvány ~a a kitevő és az alap ~ának a szorzata;
– gyök ~a az adott szám ~ának és a gyökkitevőnek a hányadosa.
Vagyis a szorzásból összeadást csinál, az osztásból kivonást, az 1-ből 0-t. A ~függvény a hatványozást szorzásra, a szorzást összeadásra vezeti vissza. Lásd. logaritmus azonosságok.
A matematikai analízisben fontos, annak alkalmazása során gyakran előforduló egyváltozós függvény. Az exponenciális függvény inverze.
Azt a függvényt, amely minden pozitív számra értelmezve van, minden számhoz annak adott „a” alapú (a>1, 0<a<1) logaritmusát rendeli, ~függvénynek nevezzük.
Az x –> logax függvény jellemzése (a>1, 0<a<1):
| Értelmezési tartomány: | x ϵ R+ |
| Értékkészlet: | y = logax ϵ R |
| Zérushelye: | x = 1 |
| Szélsőértéke: | Nincs |
| Menete: | a>1 esetén monoton nő0<a<1 esetén monoton csökken |
| Korlátos: | Nem |
| Páros vagy páratlan: | Egyik sem |
| Periodikus: | Nem |
| Folytonos: | Igen |
| Inverz függvénye: | Az exponenciális függvény: x –> ax |
A természetes logaritmus az e alapú logaritmus, ahol e egy irracionális szám. Értéke: 2,7182818284…
Természetes alapú függvényt a felsőbb matematikában alkalmazzák leginkább. Ez olyan függvény, melynek meredeksége a (0; 1) pontban 1. A függvény bázisa az Euler-szám (e = 2,7182818284…)
Ha valós változók valós függvényeként tekintjük, akkor a természetes logaritmusfüggvény az exponenciális függvény inverze.
Logaritmus
A legtöbb tudományos számológépen 10-es alapú és természetes alapú logaritmus található. Hogyan kell számolni számológépen?
1. Mi a ~ szó eredete? Válasz: Logosz = viszony, aritmosz = szám szavak egyesítéséből jött létre.
2. Kinek a nevéhez fűződik a 10-es alapú logaritmus? Válasz: Briggs.
3. Hogy nevezzük más néven a természetes logaritmust? Válasz: Napier-féle.
4. Mi a logaritmusfüggvény? Válasz: Az exponenciális függvény inverze.
5. Mi a 10-es alapú és a természetes alapú logaritmus jele? Válasz: A 10-es alapú jele az lg, a természetes alapúé az ln.
Tartalom forrása:
Új magyar lexikon 4 : K – Me
Képek forrása:
Természetes és 10-es alapú logaritmus
Reméljük tudtunk segíteni.
Kellemes napot!
fk-tudas.hu szerkesztősége
Szerkesztő ajánlja, olvasd el ezeket a témákat is:
Tetszik a téma? Ossza meg ismerőseivel:
