Háromszög

Háromszög

Olyan síkidom, amelynek 3 oldala, három csúcsa és szöge van.

Tartalomjegyzék

Néhány geometriai alapfogalom
A háromszög jelentései
A háromszög osztályozása
Elemi tények
Kerület, képlet, számítás
Terület, képlet, számítás
Magasság
Szerkesztés
Nevezetes pontok, egyenesek, körök
Egyéb technikával készült háromszögek
Receptek

Néhány alapvető geometriai alapfogalom

Mielőtt a témáról írnék, először néhány geometriai alapfogalmat szeretnék bemutatni.

A geometria tudománya foglalkozik a különböző formákkal a legegyszerűbb háromszögtől a legbonyolultabb testekig.

A síkidom kétdimenziós alakzat, hosszúsággal és szélességgel. (pl. kör, négyzet, háromszög)

A testek háromdimenziós tárgyak, hosszúsággal, szélességgel, vastagsággal (pl. kocka, hasáb, gúla, gömb, háromszög alapú hasáb).

A szög két egyenes egy pontban találkozása. A két egyenest, amely közrezárja a szöget, a szög szárainak nevezzük.

A szög fajtái:

a.) nullaszög (nincs elforgatás, 0⁰)

b.) teljes szög (egy teljes körön forgatunk, így ez 360⁰)

c.) derékszög (a teljes szög negyedrésze, 90⁰)

d.) egyenesszög (180⁰)

e.) hegyesszög (kisebb, mint 90⁰)

f.) tompaszög (nagyobb, mint 90⁰, de kisebb, mint 180⁰)

g.) homorúszög (nagyobb 180⁰-nál)

Oldalak elnevezései a háromszögeknél:

Alap: az az oldal, amelyiken a háromszög 2 szöge van, belőle indulnak ki a befogók.

Befogó: az az oldal, amelyik az alap oldalból indul ki.

Átfogó: a leghosszabb oldal a derékszögű háromszögnél. Mindig a derékszögű csúccsal van szemben.

Magasság: az a távolság, amelyet a háromszög alapjára állított derékszög és az alappal szemközti csúcs távolsága adja.

A háromszög jelentései

1. A háromszög olyan síkidom, amelynek oldalai, csúcsai és szögeinek száma három.

2. A vallási életben létezik az ún. mindentlátó szem, amelynek egyik változatán egy háromszögben ábrázolnak egy szemet. A háromszög a szentháromságot jelképezi, a szem pedig Isten szeme, vagy másképpen az előrelátás szeme.

3. Többféle szimbólum háromszög alakú. Ilyen a fekete háromszög, amely egy leszbikus vagy feminista szimbólum. Ez a Harmadik Birodalom idejére vezethető vissza, amikor a koncentrációs táborokban különböző jeleket kellett hordaniuk a tábor lakóinak. Ilyen volt a fekete háromszög. Erről és más jelképekről bővebben itt olvashatnak: Fekete háromszög (jelvény)

4. Tetoválásként a lefelé fordított háromszög a férfi, a felfelé néző pedig a nő jelképe. Illetőleg azt is jelentheti, hogy az emberi természet Isten felé igyekszik.

5. A rózsaszín háromszög a homoszexuálisok jelképe.

6. Lehet a szellem, a tűz, az anyag, a föld, a víz jele, de a fekete mágia jele is, ha lefelé mutat, vagyis az anyag felé.

7. az ezotériában az egyenlő oldalú háromszög a test – szellem – lélek egyenjogúságát jelképezi.

8. a keresztyén kultúrában az Atya – Fiú – Szentlélek jelképe

9. alkalmanként a becsület, őszinteség, elvhűség lejképe

10. Bermuda-háromszög: egy olyan hely az Atlanti-óceánon, ahol hajók, repülőgépek tűnnek el megmagyarázhatatlan módon

11. Nem szeretjük, de van szerelmi háromszög is.

A háromszög osztályozása

1. A háromszögek oldalaik egymáshoz viszonyított hossza szerint megkülönböztetünk:

– általános háromszöget, amelynek minden oldala és minden szöge különbözik

általános háromszög

– egyenlő szárú háromszöget, amelynek legalább két oldala egyenlő hosszú, két belső szöge, valamint az alapon lévő szögek egyformák.

egyenlő szárú háromszög

– egyenlő oldalú háromszög, más szóval a szabályos háromszög minden oldala egyforma hosszúságú, minden belső szöge 60°-os

egyenlő oldalú háromszög

2. A belső szögek mérete szerint megkülönböztetünk:

– derékszögű háromszöget; oldalainak elnevezései: a derékszöggel szemközti oldal az átfogó, a másik két oldal pedig a befogók

– tompaszögű háromszögnek az egyik belső szöge 90°-nál nagyobb

– hegyesszögű háromszög szögei 90°-nál kisebbek, vagyis hegyesszögek.

3. Szabályos háromszög minden oldala és minden szöge egyenlő.

Elemi tények

A háromszögekre vonatkozó alapvető tényeket már Euklidesz lefektette Elemek c. művének 1-4. könyvében Kr. e. 300 körül.

1. Minden háromszög kétdimenziós.

2. A háromszög belső szögeinek összege 180⁰. Jelölésük a görög ábécé betűivel történik:

görög betűk

3. A háromszög két szögének ismeretében meg lehet határozni a harmadikat.

4. A háromszög egyik belső szöge és a mellette lévő külső szöge egyenesszögre egészítik ki egymást.

(g+g’=180⁰) (g=gamma görög betű)

5. A csúcsokat az ábécé nagybetűivel jelöljük: A, B, C.

6. Az oldalakat az ábécé kisbetűivel jelöljük: a, b, c.

7. A háromszög bármely két oldalának összege nagyobb, mint a harmadik oldal.

A Pitagorasz-tétel alapján bármely derékszögű háromszögben az átfogó négyzete megegyezik a két befogó négyzetének összegével.

Ha c az átfogó, akkor a tétel így írható le: a²+b²=c².

A Pitagorasz-tétel általánosítása a koszinusztétel.

a.) Akkor alkalmazhatjuk, amikor egy háromszög 2 oldala és a közbezárt szögük adott, és keressük a harmadik oldalt.

Képlete: a²=b²+c²-2 bc cos α

b.) Másik esetben ha egy háromszög mindhárom oldalát ismerjük és keressük az egyik szöget.

Képlete: cos α =(b²+c²-a²):2bc

A szinusztételt alkalmazhatjuk

a.) a háromszög oldalainak meghatározására két szög és egy oldal ismeretében.

Ha két oldal és bármelyik szög adott, a szinusztétel akkor is használható; ebben az esetben 0, 1 vagy 2 megoldás lehetséges.

Képlete:

szinusztétel

b.) Másik eset: amikor 2 oldal és egy szög ismert.

szinusz- és koszinusztétel

A háromszög kerülete, képlete, kiszámítása

A háromszög kerülete úgy számítható ki, hogy összeadjuk a háromszög oldalainak értékét.

Képlete: K=a+b+c

háromszög kerülete, területe

A háromszög területe, képlete, kiszámítása

A háromszög területe kiszámítható úgy – ha ismert 2 oldala és az általuk közbezárt szög -, hogy az alapot és az oldalhoz tartozó magasságot összeszorozzuk, majd elosztjuk kettővel.

Képlete:

a háromszög területe

Másik eset:

háromszög területe

A háromszög magassága

A háromszög minden oldalához tartozik magasság, amely a terület kiszámításánál fontos.

A háromszög szerkesztése

Ha matematikaórán háromszög szerkesztése a feladat, akkor feltétlenül szükségesek hozzá az alábbi eszközök: körző, vonalzó, négyzetrácsos vagy sima füzet.

A háromszöghöz kapcsolódó nevezetes pontok, egyenesek, körök

Egyéb technikával készült háromszögek

Háromszögeket fűzhetünk gyöngyből különféle technikákkal:

háromszög gyöngyből

gyöngy háromszög medál

karkötő

gyöngyfűzés háromszög formában

Készíthetünk papírból is különféle háromszögre épülő alakzatokat:

Igaz, még nincs itt a tél, de ötletként tekintsék meg ezt a videót!

Receptek

Gazdagon töltött háromszögek

Hozzávalók a tésztához:

– 80 dkg liszt

– 5 dkg élesztő

-1 evőkanál cukor

– 5 dl tej

-1 evőkanál só

– 2 dl étolaj

Töltelékhez:

-10 dkg sonka

-10 dkg bacon

– 2 fej lilahagyma

-1 db kukorica konzerv

-15 dkg sajt reszelt

-2 db fokhagymagerezd

-1 pohár tejföl

Tetejére:

– 2 evőkanál tejföl

-1 db tojássárgája

– szezámmag

Elkészítés:

Kovászt készítünk lisztből és vízből, majd összekeverjük a többi hozzávalóival. Megkelesztjük. A tésztát vékonyra nyújtjuk, megkenjük zúzott fokhagyma és tejföl keverékével, majd ráhalmozzuk a kockára vágott sonkát, bacont, a karikára vágott lilahagymát, kukoricát és a reszelt sajtot.

Feltekerjük, megkenjük a tetejét tejfölös tojássárgájával. Háromszög formájúra vágjuk. A tetejét megszórjuk szezámmaggal, majd 180 C⁰ 15-20 percig sütjük.